借此机会,我先向大家汇报一段比较精彩的辩论,其实就是大家在论坛上与一位网友帖子之间的回复,一定有的老师已经看到过,我把它复制了一下,大家从谈话中也许能感受到——形式主义的数学正在侵蚀着我们教师,也正在戕害着我们的学生,让我们和我们的学生不敢迈开步子。
一位网友(他可能是一位领导)在论坛上说:
最近听课中,听到一位教师在总结圆柱的知识时,写出了:圆柱有无数条高.试问:这位教师的提法是否正确呢?还有,就是听到讲课的时候,有的老师总结:长方体有四个长,四个宽,四个高.这些说法是否准确?个人持否定态度.
他又说:
圆柱两个底面之间的距离叫做高.即:高是一个长度.这个长度能说有无数吗?长方形长边的长叫做长.即:长是一个长度.这个长度能说有无数吗?相交于一个顶点的三条棱的长度,分别叫做长方体的长宽高.即:长宽高是一个长度.这个长度能说有无数吗?圆的半径、直径有无数条,我认为是可以的。因为连接圆心和圆上任意一点的线段,叫做圆的半径。通过圆心,并且两端都在圆上的线段,叫做圆的直径。在圆内线段可以有无数条的。
我是这样回复的:
“圆柱的高”和“长方体的长宽高”在这里代表的都是一条线段,而并非是“长度”,我们不要那么“唯书”!所以我认为“圆柱有无数条高”是正确的;另:关于长方体的长宽高应正确表述为:在长方体的12条棱中(这一点很重要),有4个长、4个宽和4个高。而不能拣省事儿说:有4个长、4个宽和4个高。那样是错的,因为在长方体的面及内部还可以作出长宽高,应说有无数条!圆的半径、直径有无数条 ——正确,我同意!
那位网友又说:其实我个人认为:半径、直径与长、宽、高是不同的。它们不仅仅是表述上的不同,更有着实质上的不同——我们细心观察不难发现:凡是可以在图形上做出来的,都用线段定义。如圆的直径,半径;平行四边形的高;三角形、梯形的高等。可以说圆的直径、半径有无数条,梯形的高有无数条。凡是不能做出来的都用长度定义。如长方形的长、宽;长方体的长、宽、高;圆柱的高等。不能作出的怎么能说有无数条呢?这之间没有区别吗?
河北教育出版社的一位很有声望的同志说: 我也认为圆柱有无数条高是正确的!高可以表示长度,也可以指线段。
接下来,我又说:
学术研究是必要的,也很有意义,但是此题的讨论背后是不是有些太注意形式之嫌呢?形式化是数学固有的特点,但绝对的形式化实际上是做不到的,我们也应意识到适度的非形式化反而有利于学生把握数学的本质。好些年前,西方教育已经提出“非形式化的数学”教学,而当时我们还陷在“两个因数的名称、位置纠纷”之中。——此乃痛处呀!感觉过度的注意形式,给学生除了带来束缚,而别无其他。于是我们的学生变得谨小慎微起来,变得乖巧起来,从而他们活跃的思维在谨慎中逐渐僵化,跳跃的灵性在拘束中逐渐消亡。
那位网友又说:西方教育的确有很多值得我们学习的地方,但我们反思一下中国的教育。我们五千年的历史长河中,精华实在不少。我们学习他国的教育,只是要吸收有用且适合我们教育的东西。决不能完全照搬。高究竟是什么的问题不等同于“两个因数的名称、位置纠纷”。教材中对于高的定义的两种方式“距离”,“线段”,其真正的内涵是什么?我们教材中有“圆的直径有无数条”的说法,但没有“圆柱的高有无数条的说法”,更没有“因为在长方体的面及内部还可以作出长宽高,应说有无数条!”的说法。“相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高”意味着什么?还有,冀教版数学二年级下册是这样定义长方形的长和宽的“长方形长边的长叫做长,短边的长叫做宽”这样定义意味着什么?严密性是数学的一大特征。
我说:严密性和形式化确实是数学的基本特征之一, 但是数学的现代发展表明,全盘形式化是不可能的。数学正在走出“过度形式化”的光圈。 在数学教学中,学习形式化的表达是一项基本要求。但是, 数学不能过度地形式化, 将生动活泼的数学思维淹没在形式化的海洋里。 因此,应该“返朴归真”, 揭示数学的本质,“要推理,更要讲道理”,通过典型例子的分析,理解数学概念和方法。 追寻数学发展的历史足迹, 把形式化的数学形态转化为学生易于接受的教育形态。
学生还是应该学习离形式主义远一点的数学,过度的形式化是束缚学生的“金箍”,任凭你有天大的本事,也会举步维艰。其实,当我们陷于乘数和被乘数的纷争时,西方教育工作者就已经提出“非形式化的数学”口号了。我们应该认识到“形式化”是数学固有的特点,但绝对的形式化是不可能的,适度的非形式化反而有利于学生的创新精神及把握数学的本质!
我们不止一次的遇到过“过度形式化”的数学题,比如
1. 判断题:两个质数一定是互质数( );a÷b=a/b();直线比射线长( );射线是直线的一部分( )等等
2. 填空题:两个( )的三角形一定能拼成一个平行四边形;
3. 应用题中关于是否求税后利息的争执
等等不再缀述——
我从《小学数学教师》上看到了一篇题为《警惕数学教学中的形式主义》的文章,主要内容大体如下:
作者说:考察现今的小学数学教学,形式主义由来已久,早在上个世纪50年代起,我国的数学教育学习前苏联,推崇概念的严谨性和知识的系统性,这对数学教学特别是对数学教师钻研业务产生了长远的、积极的影响。但若强调过分,就容易产生繁琐、雕琢的毛病,进而形成形式主义的倾向。主要表现如:
1. 死抠字眼
例如,三角形的认识,教材的描述是:“三角形是三条线段围成的图形”。一位教师在教学时,有学生说三角形是“三条线段组成的图形”、“三条线段搭起来的图形”,就是没有学生想到用“围成”这个词。于是煞费苦心,为的只是从学生嘴里说出“围成”这个词,这样做是否必要?这里不讨论这种挤牙膏式的启发谈话的是非,仅分析“组成”与“围成”两个概念的所谓“严谨性”。事实上,用“三条线段组成”或“三条线段围成”来描述三角形,都有漏洞,都能找到反例,因此,认为用“围成”比用“组成”更准确,有如“五十步笑百步”。上面罗列的学生回答,在认识三角形的过程中或者说在学生三角形概念的形成过程中,都不妨认可。过分在文字描述上花力气雕琢,实在意思不大。正如桌子、椅子这样的概念,人人都明白,人人都能正确识别,但要给出定义却比较困难,即使有了定义,作用也不大。所以,对这类概念的条文,淡化为好。
抠字眼发展至极端的另一种表现是抠标点符号。例如,为了训练学生的审题能力,除了给出“一句之别”、“一字之差”的题组练习之外,还设计了“一号之异”的对比题供学生辨析:(1)修900米公路,前10天平均每天修50米,剩下的5天修完,平均每天修多少米? (2)修900米公路,前10天平均每天修50米,剩下的5天修完。平均每天修多少米?
该练习的设计意图是,由于逗号改成了句号,使得看似一样的两个问题发生了实质性的变化:前一题求后5天里平均每天修多少米;后一题求前后15天里平均每天修多少米。明明可以说清楚也应该说清楚的地方,故意含糊其词,这种训练,即便有效果,也实在是难为了学生。
话又要说回来,反对死抠字眼,并不是不要关注叙述,而是“适可而止”、“宽容以待”,既注意考虑严格叙述的必要性和实际效果,同时以宽容的心态去评价、去鼓励学生用自己的语言说出对概念实质的领悟。
2. 钻牛角尖
在应试教育处主导地位的年代里,数学教学曾一度追求“讲深讲透”。后来,对认知与教学的阶段性、发展性有了更深刻的认识,意识到“讲深讲透”既无必要,也不可能,但分析教学内容钻牛角尖的倾向却延续了下来。例如,有这样一道选择题:
白兔只数-( )=白兔比黑兔多的只数
A.白兔只数 B.黑兔只数 C.和黑兔同样多的白兔只数
标准答案是C。为什么不能选B,理由是“怎么可以从白兔里去掉黑兔呢?”对此,目前很多教师已能嗤之一笑,但仍有部分教师认为,要讲算理就得这么讲。岂不知既然是“只数”,就不必计较是白、是黑。再说算理本身就是人为的解释,何必只认一条死理,作茧自缚呢?
作为数学教师,最忌讳、最难堪的是被人指出犯有“科学性错误”。在实践中确实有一些是违背了数学规律或逻辑规则的错误,但更多的属于扣字眼、钻牛角尖的问题,属于对自然教学语言的挑剔。这种“批评”迫使教师谨小慎微,听任生动活泼的数学思维被字斟句酌的语言所压抑或篡改。
剖析上述种种形式主义现象的共同实质,从教学论的层面上来认识,就是片面理解科学性原则,过分追求严谨、严密,从而脱离了学生的认知实际,对教与学产生误导,师生的注意力都集中在吹毛求疵上,势必影响对概念本质的揭示与理解,冲淡数学思想方法的渗透与感悟。
在我们的教学中,类似的令学生不得不揣摩命题者意图,又常常捉摸不透的题目,时有所见。
比如,判断题:两个质数一定是互质数( )
很多人认为错误,似乎也能举出反例,像3和3,就都是质数,可他们的公约数除了1还有3,就不是互质数。我们说,“3和3”能叫做两个质数吗?我们让学生随意说出两个质数,他说:“3和3”,我们会认同吗?我们一定会说,这是两个质数吗?也一定会有学生说:这是一个质数说了两遍。可是,我们又能说这重复出现的3不都是质数吗?不能。这能说明什么?只能说明这道题本身的形式化太严重了。
其实出这道题也很有必要,因为质数都只含有1和他本身两个约数,这样一来,所有的质数就只有公约数1了,自然两个质数也不例外,这道题是考察学生对质数的特点和互质数的理解的
众所周知,数学是确定的,数学的陈述可以跨地域、跨民族,但现在为学习数学而解题,却要揣摩命题的意图、某人的喜好,岂非怪事?考虑到教学的教育性、养成性,似乎还有必要指出:由于种种原因,我们的学生正在从小学习察言观色、投其所好,长此以往,何谈创新?数学教学是不是应该在这方面保留一方净土?
我们这样“批判”形式主义,并不是对形式主义的百般刁难,因为好的内容需要适当的甚至新的形式来表现,更不是不要形式,因为不存在脱离形式的内容。应该指出,在教学中创造设计出一个好的形式也是颇不容易的。一个成功的好形式引起群起而模仿也是正常的。正确的内容是需要恰当的形式来表现的。但是,真理多跨越一步也就成了谬误。正如曹老师文中指出的,在学习他人的先进经验,借鉴别人成功的教学形式时,重心应落在其表现的内容上。在有些情况下,一种新颖的形式是成功的。但是如果不顾内容、对象等具体条件的不同而生搬硬套的话,那么在很多情况下,它可能意味着无效。离开了对内容的正确把握,刻意追求形式上的相似,形式主义也就紧随其后了。形式永远是需要的,但过度的形式主义则是必须预防和反对的!